Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ , $1 \leq y \leq 3$

Étape 1

Vérifiez si $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ est continu.

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Étape 1.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 3]$ ou non, déterminez le domaine de $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

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Étape 1.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{4 y^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 y^{2} = 0$

Étape 1.1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{2} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.1.2.1.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{4}$

Étape 1.1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$y^{2} = 0$

Étape 1.1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm 0$

Étape 1.1.2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 1.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq 0}$

Étape 1.2

$f (y)$ est continu sur $[1, 3]$ .

La fonction est continue.

Étape 2

Vérifiez si $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ est différentiable.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{4}}{8}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2.4

Associez $\frac{4}{8}$ et $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 2.1.1.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{4 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Étape 2.1.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 2.1.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 2.1.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 2.1.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 2.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.1.1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Étape 2.1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Étape 2.1.1.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Étape 2.1.1.3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Étape 2.1.1.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Étape 2.1.1.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Étape 2.1.1.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Étape 2.1.1.3.11

Associez $\frac{- 2}{4}$ et $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Étape 2.1.1.3.12

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Étape 2.1.1.3.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 2.1.1.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Étape 2.1.1.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Étape 2.1.1.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Étape 2.1.1.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Étape 2.1.1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Étape 2.1.2

La dérivée première de $f (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Étape 2.2

Déterminez si la dérivée est continue sur $[1, 3]$ .

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Étape 2.2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 3]$ ou non, déterminez le domaine de $f' (y) = \frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{2 y^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 y^{3} = 0$

Étape 2.2.1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = 0$ par $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.1.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.1.2.1.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{0}{2}$

Étape 2.2.1.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$y^{3} = 0$

Étape 2.2.1.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.2.1.2.3

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 2.2.1.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.2.1.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$y = 0$

Étape 2.2.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $y$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq 0}$

Étape 2.2.2

$f' (y)$ est continu sur $[1, 3]$ .

La fonction est continue.

Étape 2.3

La fonction est différentiable sur $[1, 3]$ car la dérivée est continue sur $[1, 3]$ .

La fonction est différentiable.

Étape 3

Pour que la longueur de l’arc soit garantie, la fonction et sa dérivée doivent toutes deux être continues sur l’intervalle fermé $[1, 3]$ .

La fonction et sa dérivée sont continues sur l’intervalle fermé $[1, 3]$ .

Étape 4

Déterminez la dérivée de $f (y) = \frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ .

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{y^{4}}{8} + \frac{1}{4 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{8}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{4}}{8}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2.4

Associez $\frac{4}{8}$ et $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 4.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{4 (y^{3})}{8} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4 y^{2}}]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{4 y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Étape 4.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Étape 4.3.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- y^{- 4} (2 y))$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 4} y)$

Étape 4.3.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Étape 4.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{1 - 4})$

Étape 4.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{4} (- 2 y^{- 3})$

Étape 4.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4} y^{- 3}$

Étape 4.3.11

Associez $\frac{- 2}{4}$ et $y^{- 3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2 y^{- 3}}{4}$

Étape 4.3.12

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 2}{4 y^{3}}$

Étape 4.3.13

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 4.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{4 y^{3}}$

Étape 4.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 y^{3})}$

Étape 4.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 y^{3})}$

Étape 4.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{- 1}{2 y^{3}}$

Étape 4.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}}$

Étape 5

Pour déterminer la longueur d’arc d’une fonction, utilisez la formule $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ .

$\int_{1}^{3} \sqrt{1 + {(\frac{y^{3}}{2} - \frac{1}{2 y^{3}})}^{2}} d y$

Étape 6

Évaluez l’intégrale.

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Étape 6.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} \frac{(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1)}{y^{3}} d y$

Étape 6.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.1

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y$

Étape 6.2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{3 \cdot - 1} d y$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3} d y$

Étape 6.3

Développez $(y^{2} + 1) (y^{4} - y^{2} + 1) y^{- 3}$ .

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Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2} + 1) + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} (y^{4} - y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2} + 1)) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 (y^{4} - y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1 + 1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2}) + y^{2} \cdot 1) y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (y^{2} y^{4} + y^{2} (- y^{2})) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2}) + 1 \cdot 1) y^{- 3} d y$

Étape 6.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + (1 y^{4} + 1 (- y^{2})) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} + y^{2} (- y^{2}) y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.11

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + y^{2} \cdot 1 y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.12

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2} y^{4} y^{- 3} - 1 \cdot y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 (- y^{2}) y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{2 + 4} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.14

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6} y^{- 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{6 - 3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.16

Soustrayez $3$ de $6$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - 1 y^{2} y^{2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.17

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{2} y^{2}) y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{2 + 2} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.19

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4} y^{- 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.20

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - (y^{4} y^{- 3}) + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{4 - 3} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.22

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y^{1} + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.23

Simplifiez

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + 1 y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.24

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2} y^{- 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{2 - 3} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.26

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + 1 y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.27

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4} y^{- 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{4 - 3} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.29

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y^{1} + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.30

Simplifiez

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y + 1 \cdot - 1 y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.31

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2} y^{- 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.32

Factorisez le signe négatif.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - (y^{2} y^{- 3}) + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.33

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{2 - 3} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.34

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 \cdot 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.35

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + 1 y^{- 3} d y$

Étape 6.3.36

Multipliez $y^{- 3}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y^{- 1} + y - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Étape 6.3.37

Déplacez $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} - y + y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Étape 6.3.38

Déplacez $- y$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y - y + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Étape 6.3.39

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Étape 6.3.40

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 1} - y^{- 1} + y^{- 3} d y$

Étape 6.3.41

Soustrayez $y^{- 1}$ de $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + 0 + y^{- 3} d y$

Étape 6.3.42

Additionnez $y^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{3} y^{3} + y^{- 3} d y$

Étape 6.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} (\int_{1}^{3} y^{3} d y + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} y^{- 3} d y)$

Étape 6.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3} + - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3})$

Étape 6.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.7.1

Associez $\frac{1}{4} y^{4}]_{1}^{3}$ et $- \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}]_{1}^{3}$

Étape 6.7.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.7.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{2} y^{- 2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 3^{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2}) - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2

Simplifiez

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Étape 6.7.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 81 - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $81$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot 3^{- 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{9 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.6

Multipliez $9$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.7

Pour écrire $\frac{81}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.8

Pour écrire $- \frac{1}{18}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.7.2.2.9.1

Multipliez $\frac{81}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.9.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{1}{18} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.9.3

Multipliez $\frac{1}{18}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{18 \cdot 2} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.9.4

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9}{36} - \frac{2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{81 \cdot 9 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.2.2.11.1

Multipliez $81$ par $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{729 - 2}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.11.2

Soustrayez $2$ de $729$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1^{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.13

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}))$

Étape 6.7.2.2.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1))$

Étape 6.7.2.2.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}))$

Étape 6.7.2.2.16

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

Étape 6.7.2.2.17

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.7.2.2.17.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}))$

Étape 6.7.2.2.17.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - (\frac{1}{4} - \frac{2}{4}))$

Étape 6.7.2.2.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{1 - 2}{4})$

Étape 6.7.2.2.19

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - \frac{- 1}{4})$

Étape 6.7.2.2.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} - - \frac{1}{4})$

Étape 6.7.2.2.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + 1 (\frac{1}{4}))$

Étape 6.7.2.2.22

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4})$

Étape 6.7.2.2.23

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9})$

Étape 6.7.2.2.24

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.7.2.2.24.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9})$

Étape 6.7.2.2.24.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{727}{36} + \frac{9}{36})$

Étape 6.7.2.2.25

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{727 + 9}{36}$

Étape 6.7.2.2.26

Additionnez $727$ et $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{736}{36}$

Étape 6.7.2.2.27

Annulez le facteur commun à $736$ et $36$ .

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Étape 6.7.2.2.27.1

Factorisez $4$ à partir de $736$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (184)}{36}$

Étape 6.7.2.2.27.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.2.27.2.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

Étape 6.7.2.2.27.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 184}{4 \cdot 9}$

Étape 6.7.2.2.27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{184}{9}$

Étape 6.7.2.2.28

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{184}{9}$ .

$\frac{184}{2 \cdot 9}$

Étape 6.7.2.2.29

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{184}{18}$

Étape 6.7.2.2.30

Annulez le facteur commun à $184$ et $18$ .

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Étape 6.7.2.2.30.1

Factorisez $2$ à partir de $184$ .

$\frac{2 (92)}{18}$

Étape 6.7.2.2.30.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.2.30.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

Étape 6.7.2.2.30.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 92}{2 \cdot 9}$

Étape 6.7.2.2.30.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{92}{9}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{92}{9}$

Forme décimale :

$10.\overline{2}$

Forme de nombre mixte :

$10 \frac{2}{9}$

Étape 8