Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (2 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.1.3.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 1.1.3.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x \tan (x)}{1 - \cos (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (2 x)]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Étape 1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.8.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 1.3.8.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 1.3.8.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 1.3.8.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 1.3.8.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- \sin (2 x) \cdot 2)}$

Étape 1.3.8.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 - (- 2 \sin (2 x))}$

Étape 1.3.8.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{0 + 2 \sin (2 x)}$

Étape 1.3.9

Additionnez $0$ et $2 \sin (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{2 \sin (2 x)}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot \sec^{2} (0) + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.7.1.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1^{2} + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.7.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.7.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.7.1.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 3.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{x \sec^{2} (x) + \tan (x)}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x) + \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sec^{2} (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 3.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.6

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.3.9

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) + \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Additionnez $\sec^{2} (x)$ et $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.5.3.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.4

Multipliez $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

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Étape 3.3.5.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.4.2

Associez $x$ et $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.7

Associez.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.8

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.5.3.8.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.5.3.8.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.8.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.9

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.10

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.5.3.12

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}$

Étape 3.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 3.3.10

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Pour écrire $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos^{3} (x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.2.2.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.4.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{2 \cos (2 x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{\cos (2 x)}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} \frac{2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{\cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{lim_{x \to 0} 2 x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.10

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 4.12

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 4.13

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{\cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.2

Associez.

$\frac{1 \frac{2 \cdot 0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 \frac{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.3.3

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cos (0)}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.3.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2 \cdot 1}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1 \frac{0 + 2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.3.6

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{1 \frac{2}{\cos^{3} (0)}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{1^{3}}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 (\frac{2}{1})}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 6.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.6.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cos (0)}$

Étape 6.6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\frac{2}{1}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.7

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2}{4 \cdot 1}$

Étape 6.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2}{4}$

Étape 6.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 6.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 6.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$