Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 3 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \tan^{2} (t)$ comme ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} \sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $3 \tan (t)$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3 \tan (t)$ à partir de ${(3 \sec (t))}^{2} (3 \tan (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3 \tan (t)$ à partir de $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t) ({(3 \sec (t))}^{2})} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Étape 2.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{3 \tan (t) {(3 \sec (t))}^{2}} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}} \sec (t) d t$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{1}{{(3 \sec (t))}^{2}}$ et $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(3 \sec (t))}^{2}} d t$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{3^{2} \sec^{2} (t)} d t$

Étape 3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $\sec (t)$ et $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 4.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{9 \sec^{2} (t)} d t$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $\sec (t)$ à partir de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec (t) \cdot 1}{\sec (t) (9 \sec (t))} d t$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{9 \sec (t)} d t$

Étape 5

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\sec (t)} d t$

Étape 6

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Étape 7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{9} (1 \cos (t)) d t$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$\int \frac{1}{9} \cos (t) d t$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{9}$ et $\cos (t)$ .

$\int \frac{\cos (t)}{9} d t$

Étape 9

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int \cos (t) d t$

Étape 10

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$\frac{1}{9} (\sin (t) + C)$

Étape 11

Simplifiez

$\frac{1}{9} \sin (t) + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{x}{3})) + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{9} \sin (arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$