Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} (2 x^{2} - 12 x + 13) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{3} 2 x^{2} - 12 x + 13 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 12 x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Étape 6

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 12$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} 13 d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 13 d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} 13 d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 13 x]_{1}^{3}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + 13 x]_{1}^{3}$

Étape 10.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 13 x]_{1}^{3}$

Étape 10.3

Évaluez $13 x$ sur $3$ et sur $1$ .

$2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$2 (\frac{27}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{9}{1} - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.2.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$2 (9 - \frac{1^{3}}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 (9 - \frac{1}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.4

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.5

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \frac{9 \cdot 3 - 1}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.7.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$2 \frac{27 - 1}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.7.2

Soustrayez $1$ de $27$ .

$2 (\frac{26}{3}) - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.8

Associez $2$ et $\frac{26}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 26}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.9

Multipliez $2$ par $26$ .

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{52}{3} - 12 \frac{9 - 1}{2} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.13

Soustrayez $1$ de $9$ .

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{8}{2}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.14

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 10.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{52}{3} - 12 \frac{2 \cdot 4}{2} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{52}{3} - 12 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{52}{3} - 12 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{52}{3} - 12 (\frac{4}{1}) + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.14.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{52}{3} - 12 \cdot 4 + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.15

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$\frac{52}{3} - 48 + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.16

Pour écrire $- 48$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 48 \cdot \frac{3}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.17

Associez $- 48$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 48 \cdot 3}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{52 - 48 \cdot 3}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.19.1

Multipliez $- 48$ par $3$ .

$\frac{52 - 144}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.19.2

Soustrayez $144$ de $52$ .

$\frac{- 92}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{92}{3} + (13 \cdot 3) - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.21

Multipliez $13$ par $3$ .

$- \frac{92}{3} + 39 - 13 \cdot 1$

Étape 10.4.22

Multipliez $- 13$ par $1$ .

$- \frac{92}{3} + 39 - 13$

Étape 10.4.23

Soustrayez $13$ de $39$ .

$- \frac{92}{3} + 26$

Étape 10.4.24

Pour écrire $26$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{92}{3} + 26 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 10.4.25

Associez $26$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{92}{3} + \frac{26 \cdot 3}{3}$

Étape 10.4.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 92 + 26 \cdot 3}{3}$

Étape 10.4.27

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.27.1

Multipliez $26$ par $3$ .

$\frac{- 92 + 78}{3}$

Étape 10.4.27.2

Additionnez $- 92$ et $78$ .

$\frac{- 14}{3}$

Étape 10.4.28

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{14}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{14}{3}$

Forme décimale :

$- 4.\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$- 4 \frac{2}{3}$

Étape 12