Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Factorisez $i$ à partir de $i - i^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i^{1} - i^{2}}{3}$

Étape 1.1.2

Factorisez $i$ à partir de $i^{1}$ .

$\frac{i \cdot 1 - i^{2}}{3}$

Étape 1.1.3

Factorisez $i$ à partir de $- i^{2}$ .

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{3}$

Étape 1.1.4

Factorisez $i$ à partir de $i \cdot 1 + i (- i)$ .

$\frac{i (1 - i)}{3}$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i (1 - i)}{3}$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $i$ égale à $1$ .

$\sum_{i = 4}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} - \sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Étape 3.1

Simplifiez l’addition.

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Étape 3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i - i^{2}}{3}$

Étape 3.2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3} + \sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$

Étape 3.3

Évaluez $\sum_{i = 1}^{10} \frac{i}{3}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $\frac{1}{3}$ dans l’addition.

$\frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i$

Étape 3.3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 3.3.4

Simplifiez

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{110}{2}$

Étape 3.3.4.1.3

Divisez $110$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 55$

Étape 3.3.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $55$ .

$\frac{55}{3}$

Étape 3.4

Évaluez $\sum_{i = 1}^{10} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $- \frac{1}{3}$ dans l’addition.

$- \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^{10} i^{2}$

Étape 3.4.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.4.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Étape 3.4.4

Simplifiez

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Étape 3.4.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 3.4.4.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.4.4.1.2.1

Multipliez $10$ par $11$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 3.4.4.1.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Étape 3.4.4.1.3

Additionnez $20$ et $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{110 \cdot 21}{6}$

Étape 3.4.4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.2.1

Multipliez $110$ par $21$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{2310}{6}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Factorisez $3$ à partir de $2310$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (770)}{6}$

Étape 3.4.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 770}{6}$

Étape 3.4.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\frac{770}{6})$

Étape 3.4.4.2.3

Annulez le facteur commun à $770$ et $6$ .

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Étape 3.4.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $770$ .

$- 1 \frac{2 (385)}{6}$

Étape 3.4.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 \frac{2 \cdot 385}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 (\frac{385}{3})$

Étape 3.4.4.2.4

Réécrivez $- 1 (\frac{385}{3})$ comme $- (\frac{385}{3})$ .

$- \frac{385}{3}$

Étape 3.5

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{55}{3} - \frac{385}{3}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{55 - 385}{3}$

Étape 3.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $385$ de $55$ .

$\frac{- 330}{3}$

Étape 3.6.2.2

Divisez $- 330$ par $3$ .

$- 110$

Étape 4

Évaluez $\sum_{i = 1}^{3} \frac{i}{3} - \frac{i^{2}}{3}$ .

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Étape 4.1

Simplifiez l’addition.

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Étape 4.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{i - i^{2}}{3}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{i = 1}^{3} \frac{i - i^{2}}{3}$

Étape 4.2

Développez la série pour chaque valeur de $i$ .

$\frac{1 - 1^{2}}{3} + \frac{2 - 2^{2}}{3} + \frac{3 - 3^{2}}{3}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1^{2} + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 2^{2} + 3 - 3^{2}}{3}$

Étape 4.3.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 1 \cdot 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 3^{2}}{3}$

Étape 4.3.2.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 1 \cdot 9}{3}$

Étape 4.3.2.6

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{1 - 1 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Étape 4.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{2 - 4 + 3 - 9}{3}$

Étape 4.3.5

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{- 2 + 3 - 9}{3}$

Étape 4.3.6

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{1 - 9}{3}$

Étape 4.3.7

Soustrayez $9$ de $1$ .

$\frac{- 8}{3}$

Étape 4.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3}$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$- 110 + \frac{8}{3}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Pour écrire $- 110$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 110 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 6.2

Associez $- 110$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 110 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 110 \cdot 3 + 8}{3}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $- 110$ par $3$ .

$\frac{- 330 + 8}{3}$

Étape 6.4.2

Additionnez $- 330$ et $8$ .

$\frac{- 322}{3}$

Étape 6.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{322}{3}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{322}{3}$

Forme décimale :

$- 107.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$- 107 \frac{1}{3}$