Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x + y} = x y$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + y}$ comme ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} = x y$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.6

Associez les fractions.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.6.3

Placez ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$

Étape 3.10

Simplifiez

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Étape 3.10.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $1 + y'$ par $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = (x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + y'}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = (x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 + y' = (x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4

Remettez dans l’ordre $1$ et $y'$ .

$y' + 1 = (x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $(x y' + y) (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' + 1 = x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' + 1 = 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' + 1 = 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.3

Déplacez $x$ .

$y' + 1 = 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$y' + 1 - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y' x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ par $1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ par $1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 1}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}{1 - 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$