Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{- 4 x^{7}})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{4 x^{7}}]$

Étape 1.2

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{4 x^{7}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{x^{7}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4}{x^{7}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - 2 x^{4} - x^{- 2} - 4$ et $g (x) = x^{7}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4] - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.8

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 4]) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3} + 0) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.10

Additionnez $- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}$ et $0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Étape 3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Étape 3.12

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.12.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}}{x^{14}}$

Étape 3.12.2

Factorisez $x^{6}$ à partir de $x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}$ .

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Étape 3.12.2.1

Factorisez $x^{6}$ à partir de $x^{7} (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}}{x^{14}}$

Étape 3.12.2.2

Factorisez $x^{6}$ à partir de $- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4) x^{6}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) + x^{6} (- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{14}}$

Étape 3.12.2.3

Factorisez $x^{6}$ à partir de $x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3})) + x^{6} (- 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{14}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x^{6}$ à partir de $x^{14}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{6} x^{8}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4))}{x^{6} x^{8}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{x^{8} \cdot 4}$

Étape 6

Déplacez $4$ à gauche de $x^{8}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 x^{- 3}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{4 \cdot x^{8}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - x^{- 2} - 4)}{4 x^{8}}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x (- 8 x^{3} + 2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - \frac{1}{x^{2}} - 4)}{4 x^{8}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x (- 8 x^{3}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4} - \frac{1}{x^{2}} - 4)}{4 x^{8}}$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x (- 8 x^{3}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- 8 x \cdot x^{3} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.5.1.2.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- \frac{- 8 (x^{3} x) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.2.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 7.5.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{- 8 (x^{3} x^{1}) + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{- 8 x^{3 + 1} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + x (2 \frac{1}{x^{3}}) - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- 8 x^{4} + 2 x \frac{1}{x^{3}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.5.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x^{3}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x \cdot x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 8 x^{4} + x \cdot 2 \frac{1}{x \cdot x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 8 x^{4} + 2 \frac{1}{x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.5

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} - 7 (- 2 x^{4}) - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 7$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} - 7 (- \frac{1}{x^{2}}) - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.7

Multipliez $- 7 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Étape 7.5.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + 7 \frac{1}{x^{2}} - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.7.2

Associez $7$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + \frac{7}{x^{2}} - 7 \cdot - 4}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.1.8

Multipliez $- 7$ par $- 4$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + \frac{2}{x^{2}} + 14 x^{4} + \frac{7}{x^{2}} + 28}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{- 8 x^{4} + 14 x^{4} + 28 + \frac{2 + 7}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.3

Additionnez $2$ et $7$ .

$- \frac{- 8 x^{4} + 14 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

Étape 7.5.4

Additionnez $- 8 x^{4}$ et $14 x^{4}$ .

$- \frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$

Étape 7.6

Associez des termes.

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Étape 7.6.1

Multipliez $\frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- (\frac{x^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}}}{4 x^{8}})$

Étape 7.6.2

Associez.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4} + 28 + \frac{9}{x^{2}})}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + x^{2} \frac{9}{x^{2}}}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + x^{2} \frac{9}{x^{2}}}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{2} (6 x^{4}) + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.6.5.1

Déplacez $x^{4}$ .

$- \frac{x^{4} x^{2} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{4 + 2} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.5.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$- \frac{x^{6} \cdot 6 + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.6

Déplacez $6$ à gauche de $x^{6}$ .

$- \frac{6 \cdot x^{6} + x^{2} \cdot 28 + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.7

Déplacez $28$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 \cdot x^{2} + 9}{x^{2} (4 x^{8})}$

Étape 7.6.8

Multipliez $x^{2}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.6.8.1

Déplacez $x^{8}$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{8} x^{2} \cdot 4}$

Étape 7.6.8.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{8 + 2} \cdot 4}$

Étape 7.6.8.3

Additionnez $8$ et $2$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{x^{10} \cdot 4}$

Étape 7.6.9

Déplacez $4$ à gauche de $x^{10}$ .

$- \frac{6 x^{6} + 28 x^{2} + 9}{4 x^{10}}$