Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arcsin (2 x + 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\arcsin (2 x + 1))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \arcsin (y)$ et $g (y) = 2 x + 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x' + 0)$

Étape 3.5

Associez les fractions.

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Étape 3.5.1

Additionnez $2 x'$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} (2 x')$

Étape 3.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} x'$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{2}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$ et $x'$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}}$

Étape 5

Résolvez $x'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x'}{\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}} \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}} = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x' = 1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $1 \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Multipliez $\sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$ par $1$ .

$2 x' = \sqrt{1 - {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{1^{2} - {(2 x + 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 x + 1$ .

$2 x' = \sqrt{(1 + 2 x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez

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Étape 5.3.2.1.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x' = \sqrt{(2 x + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Étape 5.3.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 5.3.2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2) (1 - (2 x + 1))}$

Étape 5.3.2.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2 x' = \sqrt{(2 (x) + 2 (1)) (1 - (2 x + 1))}$

Étape 5.3.2.1.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x + 1))}$

Étape 5.3.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - (2 x) - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.3.2.1.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1 \cdot 1)}$

Étape 5.3.2.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (1 - 2 x - 1)}$

Étape 5.3.2.1.3.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) (- 2 x + 0)}$

Étape 5.3.2.1.3.7

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$2 x' = \sqrt{2 (x + 1) \cdot - 2 x}$

Étape 5.3.2.1.3.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 x' = \sqrt{- 4 (x + 1) x}$

Étape 5.3.2.1.4

Réécrivez $- 4 (x + 1) x$ comme $2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)$ .

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Étape 5.3.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$2 x' = \sqrt{4 (- 1) (x + 1) x}$

Étape 5.3.2.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1) x}$

Étape 5.3.2.1.4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 (x + 1^{2}) x}$

Étape 5.3.2.1.4.4

Ajoutez des parenthèses.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot - 1 ((x + 1^{2}) x)}$

Étape 5.3.2.1.4.5

Ajoutez des parenthèses.

$2 x' = \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (x + 1^{2}) x)}$

Étape 5.3.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1^{2}) x}$

Étape 5.3.2.1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.2.1.6.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 x' = 2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$

Étape 5.3.2.1.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 \sqrt{- 1 (x + 1) x}$ .

$2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x' = 2 \sqrt{- x (x + 1)}$ par $2$ .

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x'}{2} = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x'$ par $1$ .

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x' = \frac{2 \sqrt{- x (x + 1)}}{2}$

Étape 5.4.3.1.2

Divisez $\sqrt{- x (x + 1)}$ par $1$ .

$x' = \sqrt{- x (x + 1)}$

Étape 6

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \sqrt{- x (x + 1)}$