Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{t} (t^{2} + 3 t + 2) d t$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t^{2} + 3 t + 2$ et $d v = \sqrt{t}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (2 t + 3) d t$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t + 3) d t$

Étape 3

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (2 t) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Étape 3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d t$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.4

Associez $2$ et $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} t + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.6

Associez $\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $t$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2}} t}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.7

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (t^{\frac{3}{2}} t^{1})}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + 1}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.11

Additionnez $3$ et $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 3 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 3.12

Associez $3$ et $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Étape 3.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{6 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

Étape 4

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Étape 4.1

Factorisez $3$ à partir de $6 t^{\frac{3}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} d t$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d t$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d t$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{1} d t$

Étape 4.2.4

Divisez $2 t^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{3}{2}} d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Étape 6

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{4}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \int t^{\frac{5}{2}} d t + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Étape 8

Associez $\frac{2}{7}$ et $t^{\frac{7}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int 2 t^{\frac{3}{2}} d t)$

Étape 9

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Associez $\frac{2}{5}$ et $t^{\frac{5}{2}}$ .

$(t^{2} + 3 t + 2) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} (\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + 2 (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Étape 11.2

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$\frac{t^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3

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Étape 11.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $t^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{7}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{4 (2 t^{\frac{7}{2}})}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{3 \cdot 7} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + 2 \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3.5

Associez $2$ et $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

Étape 11.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + 2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

Étape 11.3.7

Pour écrire $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Étape 11.3.8

Associez $- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 11.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Étape 11.3.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8 t^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Étape 11.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 t^{\frac{5}{2}} + \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3} (2 t^{\frac{7}{2}} - 3 (\frac{8}{21} t^{\frac{7}{2}} + \frac{4}{5} t^{\frac{5}{2}})) + C$