Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (3 x - 2 \sqrt{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} 3 x - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 \sqrt{x} d x$

Étape 6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $0$ .

$3 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.3.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{2} - 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 (\frac{1}{2} + 0) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.5

Additionnez $\frac{1}{2}$ et $0$ .

$3 (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.6

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.9

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 9.2.3.10

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 9.2.3.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Étape 9.2.3.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Étape 9.2.3.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Étape 9.2.3.13

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 9.2.3.14

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.14.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 9.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 9.2.3.14.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} - 0)$

Étape 9.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3} + 0)$

Étape 9.2.3.16

Additionnez $\frac{2}{3}$ et $0$ .

$\frac{3}{2} - 2 (\frac{2}{3})$

Étape 9.2.3.17

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

Étape 9.2.3.18

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{3}{2} + \frac{- 4}{3}$

Étape 9.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} - \frac{4}{3}$

Étape 9.2.3.20

Pour écrire $\frac{3}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 9.2.3.21

Pour écrire $- \frac{4}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.2.3.22

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.3.22.1

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.2.3.22.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 9.2.3.22.3

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Étape 9.2.3.22.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 \cdot 3}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

Étape 9.2.3.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \cdot 3 - 4 \cdot 2}{6}$

Étape 9.2.3.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.24.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 - 4 \cdot 2}{6}$

Étape 9.2.3.24.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{9 - 8}{6}$

Étape 9.2.3.24.3

Soustrayez $8$ de $9$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$

Étape 11