Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{1 - y^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - y^{2}}$ comme ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = 1 - y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.7.3

Placez ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Étape 1.9

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Étape 1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Étape 1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 y))$

Étape 1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 1.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 y)$

Étape 1.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y$

Étape 1.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $y$ .

$\frac{- 2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- y)}{2 ({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (y) = - \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = - 1$ et $g (y) = \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y$ et $g (y) = {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.4

Simplifiez

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.5.2

Multipliez ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y \frac{d}{d y} [{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = 1 - y^{2}$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - y^{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - y^{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2} {(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{{(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.11.3

Placez ${(1 - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - y (\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.11.4

Associez $\frac{1}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $y$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.15

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y^{2}])}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.16

Multipliez.

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Étape 2.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.16.2

Multipliez $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{2}]}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 y)}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.18

Associez les fractions.

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Étape 2.18.1

Associez $2$ et $\frac{y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} y}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.18.2

Associez $\frac{2 y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $y$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y \cdot y}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.19

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y)}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.20

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (y^{1} y^{1})}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{1 + 1}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.23

Annulez le facteur commun.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 y^{2}}{2 {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.24

Réécrivez l’expression.

$- \frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.25

Pour écrire ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.27

Multipliez ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.27.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.27.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.27.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{\frac{2}{2}} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.27.4

Divisez $2$ par $2$ .

$- \frac{\frac{{(1 - y^{2})}^{1} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.28

Simplifiez ${(1 - y^{2})}^{1}$ .

$- \frac{\frac{1 - y^{2} + y^{2}}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.29

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$- \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.30

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.31

Réécrivez $\frac{\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - y^{2}}$ comme un produit.

$- (\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - y^{2}}) + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.32

Multipliez $\frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{1 - y^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - y^{2})} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.33

Multipliez ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 - y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.33.1

Multipliez ${(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 - y^{2}$ .

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Étape 2.33.1.1

Élevez $1 - y^{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - y^{2})}^{1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.33.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.33.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.33.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.33.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.34

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Étape 2.35

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.35.1

Multipliez $\frac{y}{{(1 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $0$ .

$- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

Étape 2.35.2

Additionnez $- \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ et $0$ .

$f'' (y) = - \frac{1}{{(1 - y^{2})}^{\frac{3}{2}}}$