Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 e^{x^{4} + \frac{2}{9}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x^{4} + \frac{2}{9}}$

Étape 1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$2 e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2}{9}}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{4} + lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{9}}$

Étape 1.4

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 e^{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} + lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2}{9}}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $\frac{2}{9}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$2 e^{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} + \frac{2}{9}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$2 e^{{(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{2}{9}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$2 e^{\frac{1^{4}}{2^{4}} + \frac{2}{9}}$

Étape 3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 e^{\frac{1}{2^{4}} + \frac{2}{9}}$

Étape 3.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$2 e^{\frac{1}{16} + \frac{2}{9}}$

Étape 3.2

Pour écrire $\frac{1}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$2 e^{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2}{9}}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{2}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$2 e^{\frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Étape 3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $144$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{9}{9}$ .

$2 e^{\frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Étape 3.4.2

Multipliez $16$ par $9$ .

$2 e^{\frac{9}{144} + \frac{2}{9} \cdot \frac{16}{16}}$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{2}{9}$ par $\frac{16}{16}$ .

$2 e^{\frac{9}{144} + \frac{2 \cdot 16}{9 \cdot 16}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $9$ par $16$ .

$2 e^{\frac{9}{144} + \frac{2 \cdot 16}{144}}$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 e^{\frac{9 + 2 \cdot 16}{144}}$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $2$ par $16$ .

$2 e^{\frac{9 + 32}{144}}$

Étape 3.6.2

Additionnez $9$ et $32$ .

$2 e^{\frac{41}{144}}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 e^{\frac{41}{144}}$

Forme décimale :

$2.65878540 \dots$