Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{2 x + 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 1}$ comme ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ et $g (y) = 2 x + 1$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.6

Associez les fractions.

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Étape 4.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.6.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.6.3

Placez ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [2 x + 1]$

Étape 4.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 4.8

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 4.9

Réécrivez $\frac{d}{d y} [x]$ comme $x'$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x' + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 4.10

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x' + 0)$

Étape 4.11

Simplifiez les termes.

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Étape 4.11.1

Additionnez $2 x'$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x')$

Étape 4.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} x'$

Étape 4.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x'$ .

$\frac{2 x'}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x'}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Résolvez $x'$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Annulez le facteur commun de ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x'}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x' = 1 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$x' = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 7

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$