Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Étape 1

Développez $x^{2} {(x + 1)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) d x$

Étape 1.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1^{3}) d x$

Étape 1.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot 1^{2}) d x$

Étape 1.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 x^{2} \cdot 1) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.8

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 \cdot 1 x^{2}) + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.9

Déplacez les parenthèses.

$\int x^{2} x^{3} + x^{2} (3 \cdot 1) x^{2} + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.10

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x \cdot (1 \cdot 1)) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.11

Déplacez $x$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1 \cdot 1 x) + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.12

Déplacez les parenthèses.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1 \cdot 1) x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.13

Déplacez les parenthèses.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 \cdot 1) \cdot 1 x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.14

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot (1 \cdot 1)) d x$

Étape 1.15

Déplacez les parenthèses.

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + x^{2} (1 \cdot 1) \cdot 1 d x$

Étape 1.16

Déplacez $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 + 3} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.18

Additionnez $2$ et $3$ .

$\int x^{5} + 3 \cdot 1 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.19

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{2} x^{2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{5} + 3 x^{2 + 2} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.21

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + (3 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.22

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 \cdot 1 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.23

Multipliez $3$ par $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2} x + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.24

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 (x^{2} x^{1}) + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{2 + 1} + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.26

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + (1 \cdot 1) \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.27

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + 1 \cdot 1 x^{2} d x$

Étape 1.28

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + 1 x^{2} d x$

Étape 1.29

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\int x^{5} + 3 x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{5} d x + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + \int 3 x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 \int x^{4} d x + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{1}{6} x^{6} + C + 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 3 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

$\frac{x^{6}}{6} + \frac{3 x^{5}}{5} + \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{6} x^{6} + \frac{3}{5} x^{5} + \frac{3}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$