Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{e^{x} - 1}{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{x} - 1$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x} - 1] - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (e^{x} + 0) - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x e^{x} - (e^{x} - 1)}{x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x e^{x} - e^{x} - - 1}{x^{2}}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} + 1}{x^{2}}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x} x + 1 - e^{x}}{x^{2}}$ .

$\frac{x e^{x} + 1 - e^{x}}{x^{2}}$