Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) d θ$

Étape 1

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (θ)$ comme $- 1 + \sec^{2} (θ)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 + \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 1 d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 3

Appliquez la règle de la constante.

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (θ)$ est $\sec^{2} (θ)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (θ)$ est $\tan (θ)$ .

$- θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $- θ]_{0}^{\frac{π}{2}}$ et $\tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$ .

$- θ + \tan (θ)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $- θ + \tan (θ)$ sur $\frac{π}{2}$ et sur $0$ .

$(- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})) - (- 0 + \tan (0))$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - (0 + \tan (0))$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $\tan (0)$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - \tan (0)$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) - 0$

Étape 5.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2}) + 0$

Étape 5.3.3

Additionnez $- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$ et $0$ .

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{2})$

Étape 6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{2})$ est $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Étape 6.1

Divisez $\frac{π}{2}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \frac{π}{2} + \tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3})$

Étape 6.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$- \frac{π}{2} + \frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})}$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})}$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$

Étape 6.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 6.7.1.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.7.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Étape 6.7.1.1.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Étape 6.7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Étape 6.7.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Étape 6.7.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Étape 6.7.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Étape 6.7.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Étape 6.7.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.7.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Étape 6.7.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}}$

Étape 6.7.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Étape 6.7.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}}$

Étape 6.7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1}$

Étape 6.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Étape 6.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Étape 6.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$- \frac{π}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$

Étape 7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini