Calcul infinitésimal Exemples

$y^{3} - 2 x y^{2} = x^{3} y + 5 x^{2} y^{2} - y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 2 x y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} y + 5 x^{2} y^{2} - y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - 2 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 2 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y^{2}$ .

$3 y^{2} y' - 2 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$3 y^{2} y' - 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 2 (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$3 y^{2} y' - 2 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y' - 2 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 y^{2} y' - 2 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$3 y^{2} y' - 2 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

Étape 2.3.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$3 y^{2} y' - 2 (2 x y y' + y^{2})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y^{2} y' - 2 (2 x y y') - 2 y^{2}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 y^{2} y' - 4 x y y' - 2 y^{2}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 y^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} y + 5 x^{2} y^{2} - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [5 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.4

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) - y'$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 5 (2 x^{2} y y') + 5 (2 y^{2} x) - y'$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 10 (x^{2} y y') + 5 (2 y^{2} x) - y'$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x^{3} y' + 3 y x^{2} + 10 x^{2} y y' + 10 y^{2} x - y'$

Étape 3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 10 x^{2} y y' + 10 y^{2} x - y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 y^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y y' = x^{3} y' + 3 x^{2} y + 10 x^{2} y y' + 10 y^{2} x - y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 10 x^{2} y y' + 10 y^{2} x - y' = - 2 y^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $3 y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 10 x^{2} y y' + 10 y^{2} x - y' - 3 y^{2} y' = - 2 y^{2} - 4 x y y'$

Étape 5.2.2

Ajoutez $4 x y y'$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + 10 x^{2} y y' + 10 y^{2} x - y' - 3 y^{2} y' + 4 x y y' = - 2 y^{2}$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $3 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + 10 x^{2} y y' + 10 y^{2} x - y' - 3 y^{2} y' + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y$

Étape 5.3.2

Soustrayez $10 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} y' + 10 x^{2} y y' - y' - 3 y^{2} y' + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $x^{3} y' + 10 x^{2} y y' - y' - 3 y^{2} y' + 4 x y y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + 10 x^{2} y y' - y' - 3 y^{2} y' + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $10 x^{2} y y'$ .

$y' (x^{3}) + y' (10 x^{2} y) - y' - 3 y^{2} y' + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (x^{3}) + y' (10 x^{2} y) + y' \cdot - 1 - 3 y^{2} y' + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (x^{3}) + y' (10 x^{2} y) + y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2}) + 4 x y y' = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $4 x y y'$ .

$y' (x^{3}) + y' (10 x^{2} y) + y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2}) + y' (4 x y) = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{3}) + y' (10 x^{2} y)$ .

$y' (x^{3} + 10 x^{2} y) + y' \cdot - 1 + y' (- 3 y^{2}) + y' (4 x y) = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{3} + 10 x^{2} y) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1) + y' (- 3 y^{2}) + y' (4 x y) = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.8

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2}) + y' (4 x y) = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.4.9

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2}) + y' (4 x y)$ .

$y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y) = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y) = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$ par $x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y) = - 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$ par $x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y$ .

$\frac{y' (x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} = \frac{- 2 y^{2}}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} + \frac{- 10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2}}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} + \frac{- 10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{(2) y^{2}}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} + \frac{- 3 x^{2} y}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} + \frac{- 10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} - \frac{(3) x^{2} y}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} + \frac{- 10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y^{2}}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} - \frac{3 x^{2} y}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} - \frac{10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 y^{2} - 3 x^{2} y}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y} - \frac{10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{2} - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x$ .

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Étape 5.5.3.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 2 y) - 3 x^{2} y - 10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 3 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- 2 y) + y (- 3 x^{2}) - 10 y^{2} x}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.3.3

Factorisez $y$ à partir de $- 10 y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- 2 y) + y (- 3 x^{2}) + y (- 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.3.4

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 y) + y (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- 2 y - 3 x^{2}) + y (- 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.3.5

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 y - 3 x^{2}) + y (- 10 y x)$ .

$y' = \frac{y (- 2 y - 3 x^{2} - 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{y (- (2 y) - 3 x^{2} - 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (2 y) - (3 x^{2}) - 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y) - (3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- (2 y + 3 x^{2}) - 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 10 y x$ .

$y' = \frac{y (- (2 y + 3 x^{2}) - (10 y x))}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 y + 3 x^{2}) - (10 y x)$ .

$y' = \frac{y (- (2 y + 3 x^{2} + 10 y x))}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.2.9.1

Réécrivez $- (2 y + 3 x^{2} + 10 y x)$ comme $- 1 (2 y + 3 x^{2} + 10 y x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (2 y + 3 x^{2} + 10 y x))}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 5.5.3.2.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (2 y + 3 x^{2} + 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 y + 3 x^{2} + 10 y x)}{x^{3} + 10 x^{2} y - 1 - 3 y^{2} + 4 x y}$