Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (x + 2)}{x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} - 3 (x + 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Placez le terme $- 3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 2}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- 3 (lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{- 3 (lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{- 3 (- 2 + 2)}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{- 3 \cdot 0}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4 x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4 x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + lim_{x \to {(- 2)}^{-}} 4}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 4}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $- 2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 4 lim_{x \to {(- 2)}^{-}} x + 4}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 2$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} + 4 \cdot - 2 + 4}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 + 4 \cdot - 2 + 4}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{0}{4 - 8 + 4}$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $8$ de $4$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Étape 1.1.3.6.3

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (x + 2)}{x^{2} + 4 x + 4} = lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 (x + 2)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x + 2]$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]}$

Étape 1.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.10

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.10.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.10.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]}$

Étape 1.3.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4 + 0}$

Étape 1.3.12

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$lim_{x \to {(- 2)}^{-}} \frac{- 3}{2 x + 4}$

Étape 2

Comme le numérateur est négatif et le dénominateur $2 x + 4$ approche de zéro et est inférieur à zéro pour $x$ près de $- 2$ vers la gauche, la fonction augmente sans borne.

$\infty$