Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 1.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 1.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 1.1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}$

Étape 1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.8.2

Associez des termes.

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Étape 1.8.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Étape 1.8.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{5}{2}}$ et $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Étape 2.10

Multipliez.

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Étape 2.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Étape 2.10.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Étape 2.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{4}$

Étape 2.12.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{- \frac{5}{2}}}{4}$

Étape 2.12.3

Placez $x^{- \frac{5}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}}$