Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - 2 x + 2 x^{3}}{x^{3} + x + 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 2 x}{x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} + \frac{- 2}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.3.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{1 + \frac{x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{1 + \frac{x^{1}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{1 + \frac{x \cdot 1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} + 2}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 2}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 2}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 2}{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0 + 2}{1 + 0 + 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 2}{1 + 0 + 0}$

Étape 9.1.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 + 2}{1 + 0 + 0}$

Étape 9.1.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{2}{1 + 0 + 0}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Étape 9.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 9.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2$