Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (3 y) + \sin (2 x) = 2 x + 3 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (3 y) + \sin (2 x)) = \frac{d}{d x} (2 x + 3 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (3 y) + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (3 y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (3 y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 y$ .

$- \sin (3 y) \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (3 y) (3 y') + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 + 3 y'$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y' + 2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 \cos (2 x) = 3 y' + 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 3 \sin (3 y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 3 y' + 2$

Étape 5.2

Soustrayez $2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \sin (3 y) y' = 3 y' + 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.3

Soustrayez $3 y'$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \sin (3 y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- 3 \sin (3 y) y' - 3 y'$ .

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.1

Appliquez l’identité d’angle triple du sinus.

$- 3 (- 4 \sin^{3} (y) + 3 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.4.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 3 (- 4 \sin^{3} (y)) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.4.1.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 3 (3 \sin (y))) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.4.1.1.4

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$(12 \sin^{3} (y) - 9 \sin (y)) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.4.1.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.4.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $12 \sin^{3} (y) y' - 9 \sin (y) y' - 3 y'$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.1

Simplifiez $2 - 2 (1 - 2 \sin^{2} (x))$ .

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Étape 5.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 \cdot 1 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.5.1.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 - 2 (- 2 \sin^{2} (x))$

Étape 5.5.1.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 2 - 2 + 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.5.1.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.5.1.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 0 + 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.5.1.2.2

Additionnez $0$ et $4 \sin^{2} (x)$ .

$12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.6

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $12 y' \sin^{3} (y) - 9 y' \sin (y) - 3 y'$ .

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Étape 5.6.1.1

Factorisez $3 y'$ à partir de $12 y' \sin^{3} (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) - 9 y' \sin (y) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.1.2

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 9 y' \sin (y)$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) - 3 y' = 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.1.3

Factorisez $3 y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.1.4

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' (4 \sin^{3} (y)) + 3 y' (- 3 \sin (y))$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1 = 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.1.5

Factorisez $3 y'$ à partir de $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y)) + 3 y' \cdot - 1$ .

$3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$

Étape 5.6.2

Divisez chaque terme dans $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ par $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.6.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1) = 4 \sin^{2} (x)$ par $3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)$ .

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Étape 5.6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Étape 5.6.2.2.2

Annulez le facteur commun de $4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1$ .

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Étape 5.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}{4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Étape 5.6.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 \sin^{2} (x)}{3 (4 \sin^{3} (y) - 3 \sin (y) - 1)}$