Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.4

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.5

Placez le terme $19$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.8

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.9

Placez le terme $15$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.10

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{9 + 19 \cdot 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.11.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.11.1.1

Multipliez $19$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{9} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}} - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - \sqrt{9 + 15 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.5

Multipliez $15$ par $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9 + 0}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.6

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{3 - \sqrt{9}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.7

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3^{2}}}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.2.11.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}}{3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{9 + 19 x} - \sqrt{9 + 15 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{9 + 19 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 + 19 x}$ comme ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 + 19 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 + 19 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 19 x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + 19 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [19 x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.5

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $19 x$ par rapport à $x$ est $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.12

Multipliez $19$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 19) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.13

Additionnez $0$ et $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 19 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.15

Associez $\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $19$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 19}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.16

Déplacez $19$ à gauche de ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 \cdot {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.17

Multipliez $19$ par ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19 {(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.3.18

Placez ${(9 + 19 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{9 + 15 x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 + 15 x}$ comme ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 9 + 15 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 + 15 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 15 x])}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [15 x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.6

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.11

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.13

Multipliez $15$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 15))}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.14

Additionnez $0$ et $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 15)}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.16

Associez $\frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $15$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 15}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.17

Déplacez $15$ à gauche de ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 \cdot {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.18

Multipliez $15$ par ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15 {(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.4.19

Placez ${(9 + 15 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3 \cdot 1}$

Étape 3.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 {(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Étape 4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez ${(9 + 19 x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{9 + 19 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 {(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}}}{3}$

Étape 4.2

Réécrivez ${(9 + 15 x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{9 + 15 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}}{3}$

Étape 5

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (lim_{x \to 0} \frac{19}{2 \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 7

Placez le terme $\frac{19}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 10

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 12

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 19 x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 13

Placez le terme $19$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - lim_{x \to 0} \frac{15}{2 \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 14

Placez le terme $\frac{15}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 15

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 16

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{9 + 15 x}})$

Étape 17

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + 15 x}})$

Étape 18

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Étape 19

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + lim_{x \to 0} 15 x}})$

Étape 20

Placez le terme $15$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 lim_{x \to 0} x}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Étape 21

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 21.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 lim_{x \to 0} x}})$

Étape 21.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 19 \cdot 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Étape 22

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.1.1

Multipliez $19$ par $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Étape 22.1.1.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Étape 22.1.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Étape 22.1.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Étape 22.1.2

Multipliez $\frac{19}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.2.1

Multipliez $\frac{19}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{2 \cdot 3} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Étape 22.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 15 \cdot 0}})$

Étape 22.1.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.3.1

Multipliez $15$ par $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9 + 0}})$

Étape 22.1.3.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{9}})$

Étape 22.1.3.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^{2}}})$

Étape 22.1.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 22.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{15}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 15}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 22.1.4.2

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 (- 5)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 22.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{3 \cdot - 5}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 22.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} + \frac{- 5}{2})$

Étape 22.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2})$

Étape 22.2

Pour écrire $- \frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Étape 22.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.3.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3})$

Étape 22.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{19}{6} - \frac{5 \cdot 3}{6})$

Étape 22.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 5 \cdot 3}{6}$

Étape 22.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.5.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19 - 15}{6}$

Étape 22.5.2

Soustrayez $15$ de $19$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6}$

Étape 22.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (2)}{6}$

Étape 22.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 22.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 22.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 22.7

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 22.7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 3}$

Étape 22.7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2}{9}$