Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

Étape 1

Réécrivez $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à 0 et ne sont pas égaux à 1, et si $x$ est supérieur à 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Étape 1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = e$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1

Comme $\ln (2 x^{3} + 7)$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ par rapport à $a$ est $\ln (2 x^{3} + 7) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{\ln (a)}$ comme $\ln^{- 1} (a)$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = a^{- 1}$ et $g (a) = \ln (a)$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\ln (a)$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (a)$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Étape 4

La dérivée de $\ln (a)$ par rapport à $a$ est $\frac{1}{a}$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Étape 5

Associez les fractions.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{a}$ et $\ln^{- 2} (a)$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

Étape 5.2

Placez $\ln^{- 2} (a)$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (2 x^{3} + 7) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

Étape 5.3

Associez $\ln (2 x^{3} + 7)$ et $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ .

$- \frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{a \ln^{2} (a)}$