Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \sqrt{x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 4.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 4.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 4.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 4.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$