Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} 9 e^{- 9 x} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 9 e^{- 9 x} d x$

Étape 2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{t} e^{- 9 x} d x$

Étape 3

Laissez $u = - 9 x$ . Alors $d u = - 9 d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = - 9 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 3.1.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 9 x$ .

$u_{lower} = - 9 \cdot 0$

Étape 3.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 9 x$ .

$u_{upper} = - 9 t$

Étape 3.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 9 t$

Étape 3.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} \frac{1}{- 9} d u$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} e^{u} (- \frac{1}{9}) d u$

Étape 4.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{9}$ .

$lim_{t \to \infty} 9 \int_{0}^{- 9 t} - \frac{e^{u}}{9} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} 9 (- \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u)$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$lim_{t \to \infty} - 9 \int_{0}^{- 9 t} \frac{e^{u}}{9} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - 9 (\frac{1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $- 9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 9}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $9$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to \infty} \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1}{1} \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Étape 8.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 9 t} e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- 9 t})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 9 t$ et sur $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- 9 t}) - e^{0})$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1 \cdot 1)$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- 9 t} - 1)$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Évaluez la limite.

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Étape 11.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - 1$

Étape 11.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- 9 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 11.2

Comme l’exposant $- 9 t$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 9 t}$ approche de $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 11.3

Évaluez la limite.

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Étape 11.3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 11.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (0 - 1)$

Étape 11.3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- - 1$

Étape 11.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$