Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 16 \ln (x^{2}) - x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 \ln (x^{2})$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$16 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.7

Associez $16$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{16 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.8

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{32}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{32}{x} - (2 x)$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{32}{x} - 2 x$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x + \frac{32}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x + \frac{32}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{32}{x}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 2 + 32 (- x^{- 2})$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 x^{- 2}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 - 32 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $- 32$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{- 32}{x^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - 2 - \frac{32}{x^{2}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{32}{x^{2}} - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 2 x + \frac{32}{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 \ln (x^{2})]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 \ln (x^{2})$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$16 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$16 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 (\frac{2}{x^{2}} x) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.5

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$16 \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.7

Associez $16$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{16 \cdot 2}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $16$ par $2$ .

$\frac{32}{x} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{32}{x} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{32}{x} - (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{32}{x} - 2 x$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 2 x + \frac{32}{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x + \frac{32}{x}$ .

$- 2 x + \frac{32}{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x + \frac{32}{x} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $- 2 x + \frac{32}{x} = 0$ par $x$ .

$- 2 x \cdot x + \frac{32}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- 2 (x \cdot x) + \frac{32}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{32}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{2} + \frac{32}{x} x = 0 x$

Étape 5.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{2} + 32 = 0 x$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Soustrayez $32$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 32$

Étape 5.4.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 32$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 32$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Étape 5.4.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

Étape 5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.3.1

Divisez $- 32$ par $- 2$ .

$x^{2} = 16$

Étape 5.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{16}$

Étape 5.4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{16}$ .

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Étape 5.4.4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Étape 5.4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 4$

Étape 5.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4$

Étape 5.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4$

Étape 5.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 4$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{32}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 4, - 4$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{32}{{(4)}^{2}} - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{32}{16} - 2$

Étape 9.1.2

Divisez $32$ par $16$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - 2$

Étape 9.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Étape 10

$x = 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 4$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 4$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f (4) = 16 \ln ({(4)}^{2}) - {(4)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = 16 \ln (16) - {(4)}^{2}$

Étape 11.2.1.2

Simplifiez $16 \ln (16)$ en déplaçant $16$ dans le logarithme.

$f (4) = \ln (16^{16}) - {(4)}^{2}$

Étape 11.2.1.3

Élevez $16$ à la puissance $16$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - {(4)}^{2}$

Étape 11.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - 1 \cdot 16$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (4) = \ln (18446744073709600000) - 16$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $\ln (18446744073709600000) - 16$ .

$y = \ln (18446744073709600000) - 16$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 4$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{32}{{(- 4)}^{2}} - 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{32}{16} - 2$

Étape 13.1.2

Divisez $32$ par $16$ .

$- 1 \cdot 2 - 2$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - 2$

Étape 13.2

Soustrayez $2$ de $- 2$ .

$- 4$

Étape 14

$x = - 4$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 4$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 4$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f (- 4) = 16 \ln ({(- 4)}^{2}) - {(- 4)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = 16 \ln (16) - {(- 4)}^{2}$

Étape 15.2.1.2

Simplifiez $16 \ln (16)$ en déplaçant $16$ dans le logarithme.

$f (- 4) = \ln (16^{16}) - {(- 4)}^{2}$

Étape 15.2.1.3

Élevez $16$ à la puissance $16$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - {(- 4)}^{2}$

Étape 15.2.1.4

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - 1 \cdot 16$

Étape 15.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$f (- 4) = \ln (18446744073709600000) - 16$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $\ln (18446744073709600000) - 16$ .

$y = \ln (18446744073709600000) - 16$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 16 \ln (x^{2}) - x^{2}$ .

$(4, \ln (18446744073709600000) - 16)$ est un maximum local

$(- 4, \ln (18446744073709600000) - 16)$ est un maximum local

Étape 17