Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x^{2}}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x^{2}})$ en déplaçant $x^{2}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to \infty} e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Étape 3

Comme l’exposant $x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x^{2} \ln (\frac{x + 1}{x})}$ approche de $\infty$ .

$\infty$