Calcul infinitésimal Exemples

$4 \sqrt{y} - y = 2 x$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y^{\frac{1}{2}} - y = 2 x$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (4 y^{\frac{1}{2}} - y) = \frac{d}{d x} (2 x)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y^{\frac{1}{2}} - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y') + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.10

Associez $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $y'$ .

$4 \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.11

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.12

Associez $4$ et $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.13

Factorisez $2$ à partir de $4 y'$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 y')}{2 (y^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y')}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$

Étape 6

Résolvez $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Étape 6.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ par $y^{\frac{1}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} - y' = 2$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y' - y' y^{\frac{1}{2}} = 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Déterminez un facteur commun $y^{\frac{1}{2}}$ présent dans chaque terme.

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' y^{\frac{1}{2}} - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Remplacez $y^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$2 {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2} - y' u - 2 u = 0$

Étape 6.3.3

Résolvez $u$ .

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Étape 6.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Étape 6.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - y' u - 2 u = 0$

Étape 6.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 {y'}^{1} - y' u - 2 u = 0$

Étape 6.3.3.1.2

Simplifiez

$2 y' - y' u - 2 u = 0$

Étape 6.3.3.2

Soustrayez $2 y'$ des deux côtés de l’équation.

$- y' u - 2 u = - 2 y'$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $u$ à partir de $- y' u - 2 u$ .

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Étape 6.3.3.3.1

Factorisez $u$ à partir de $- y' u$ .

$u (- y') - 2 u = - 2 y'$

Étape 6.3.3.3.2

Factorisez $u$ à partir de $- 2 u$ .

$u (- y') + u \cdot - 2 = - 2 y'$

Étape 6.3.3.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u (- y') + u \cdot - 2$ .

$u (- y' - 2) = - 2 y'$

Étape 6.3.3.4

Divisez chaque terme dans $u (- y' - 2) = - 2 y'$ par $- y' - 2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $u (- y' - 2) = - 2 y'$ par $- y' - 2$ .

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Étape 6.3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- y' - 2$ .

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Étape 6.3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u (- y' - 2)}{- y' - 2} = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Étape 6.3.3.4.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 2 y'}{- y' - 2}$

Étape 6.3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Étape 6.3.3.4.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y'$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 2}$

Étape 6.3.3.4.3.3

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- y' - 1 (2)}$

Étape 6.3.3.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y' - 1 (2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- (y' + 2)}$

Étape 6.3.3.4.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.3.4.3.5.1

Réécrivez $- (y' + 2)$ comme $- 1 (y' + 2)$ .

$u = - \frac{2 y'}{- 1 (y' + 2)}$

Étape 6.3.3.4.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - - \frac{2 y'}{y' + 2}$

Étape 6.3.3.4.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$u = 1 \frac{2 y'}{y' + 2}$

Étape 6.3.3.4.3.5.4

Multipliez $\frac{2 y'}{y' + 2}$ par $1$ .

$u = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Étape 6.3.4

Remplacez $u$ par $y'$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 y'}{y' + 2}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y'}{y' + 2}$