Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{2}{\sqrt[3]{w}} - \sqrt[3]{w}) d w$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{w}} - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{\sqrt[3]{w}} d w + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $w$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{w}} d w + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{w}$ comme $w^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \int \frac{1}{w^{\frac{1}{3}}} d w + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 4.2

Retirez $w^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 \int {(w^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d w + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(w^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int w^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d w + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$2 \int w^{\frac{- 1}{3}} d w + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int w^{- \frac{1}{3}} d w + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $w$ est $\frac{3}{2} w^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} w^{\frac{2}{3}} + C) + \int - \sqrt[3]{w} d w$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $w$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{3}{2} w^{\frac{2}{3}} + C) - \int \sqrt[3]{w} d w$

Étape 7

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{w}$ comme $w^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} w^{\frac{2}{3}} + C) - \int w^{\frac{1}{3}} d w$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $w^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $w$ est $\frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} w^{\frac{2}{3}} + C) - (\frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Simplifiez

$2 (\frac{3}{2}) w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6}{2} w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{1} w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$

Étape 9.2.3.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$3 w^{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4} w^{\frac{4}{3}} + C$