Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Étape 4

Évaluez $\arctan (x)$ sur $t$ et sur $0$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Étape 5.2

La limite lorsque $t$ approche de $\infty$ est $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $\arctan (0)$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (0)$

Étape 5.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 5.4.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2}$

Forme décimale :

$1.57079632 \dots$