Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = - 1$ et $g (y) = \frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{y}{x^{2} + y^{2}}] + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ est $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ où $f (y) = y$ et $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{(x^{2} + y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.2

Multipliez $x^{2} + y^{2}$ par $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.4

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y \frac{d}{d y} [y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - y (2 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y \cdot y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 5

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 (y^{1} y^{1})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{1 + 1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 7

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 7.2

Soustrayez $2 y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \cdot 0$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{y}{x^{2} + y^{2}}$ par $0$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + 0$

Étape 9.2

Additionnez $- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$