Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{y \to - \infty} \frac{2 - y}{\sqrt{7 + 6 y^{2}}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $y$ dans le dénominateur, qui est $y = - \sqrt{y^{2}}$ .

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - \frac{y}{y}}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}}}}$

Étape 2.2.2

Divisez $6$ par $1$ .

$lim_{y \to - \infty} \frac{\frac{2}{y} - 1}{- \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{y \to - \infty} \frac{2}{y} - 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{y \to - \infty} \frac{2}{y} - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $y$ .

$\frac{2 lim_{y \to - \infty} \frac{1}{y} - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{y}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{y \to - \infty} 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{y \to - \infty} - \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 4.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $y$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- lim_{y \to - \infty} \sqrt{\frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 4.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{lim_{y \to - \infty} \frac{7}{y^{2}} + 6}}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{lim_{y \to - \infty} \frac{7}{y^{2}} + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Étape 4.5

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $y$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 lim_{y \to - \infty} \frac{1}{y^{2}} + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{y^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + lim_{y \to - \infty} 6}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Étape 6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Étape 6.2.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{7 \cdot 0 + 6}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{0 + 6}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$\frac{- 1}{- \sqrt{6}}$

Étape 6.2.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{1}{\sqrt{6}}$

Étape 6.2.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 6.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 6.2.5.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Étape 6.2.5.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Étape 6.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 6.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 6.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 6.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6}}{6^{1}}$

Étape 6.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6}}{6}$

Forme décimale :

$0.40824829 \dots$