Calcul infinitésimal Exemples

$\int (2 \sqrt{t} - t - \frac{9}{t^{2}}) d t$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 2 \sqrt{t} - t - \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 \sqrt{t} d t + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sqrt{t} d t + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - \int t d t + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) + \int - \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) - \int \frac{9}{t^{2}} d t$

Étape 9

Comme $9$ est constant par rapport à $t$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) - (9 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{1}{2} t^{2} + C) - (9 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Étape 10.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{2}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int \frac{1}{t^{2}} d t)$

Étape 10.2

Retirez $t^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int {(t^{2})}^{- 1} d t)$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 10.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int t^{2 \cdot - 1} d t)$

Étape 10.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - (9 \int t^{- 2} d t)$

Étape 10.3.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - 9 \int t^{- 2} d t$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{- 2}$ par rapport à $t$ est $- t^{- 1}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{t^{2}}{2} + C) - 9 (- t^{- 1} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{t^{2}}{2} - 9 (- t^{- 1}) + C$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{t^{2}}{2} + 9 t^{- 1} + C$

Étape 13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2} t^{2} + 9 t^{- 1} + C$