Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{- 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{- 3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 1) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 1) + 1 (x + 1)) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x + x + 1) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 2 x + 1) {(x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ et $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{- 3}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 3}] + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.6.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 3 {(x^{2} + 1)}^{- 4} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.6.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Étape 3.6.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.6.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.6.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.6.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.6.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.6.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (2 x + 2 + 0)$

Étape 3.6.11

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 {(x^{2} + 1)}^{- 4} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (2 x + 2)$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{4}} x) + {(x^{2} + 1)}^{- 3} (2 x + 2)$

Étape 3.7.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- 6 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{4}} x) + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (2 x + 2)$

Étape 3.7.3

Associez des termes.

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Étape 3.7.3.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (\frac{- 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}} x) + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (2 x + 2)$

Étape 3.7.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$(x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{4}} x) + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (2 x + 2)$

Étape 3.7.3.3

Associez $x$ et $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}) + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (2 x + 2)$

Étape 3.7.3.4

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}) + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (2 x + 2)$

Étape 3.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (x^{2} + 2 x + 1) \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.2

Simplifiez

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Étape 3.7.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1) \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- x^{2} - 2 x - 1) \frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.3

Multipliez $- x^{2} - 2 x - 1$ par $\frac{6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{(- x^{2} - 2 x - 1) (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.5.4.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.7.5.4.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ et dont la somme est $b = - 2$ .

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Étape 3.7.5.4.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(- x^{2} - 2 (x) - 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1$ plus $- 1$

$\frac{(- x^{2} + (- 1 - 1) x - 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- x^{2} - 1 x - 1 x - 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.7.5.4.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{((- x^{2} - 1 x) - 1 x - 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(x (- x - 1) + 1 (- x - 1)) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2

Associez les exposants.

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Étape 3.7.5.4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.4

Réécrivez $- (x + 1)$ comme $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 1) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.5

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.6

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1} \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 1)}^{2} \cdot 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.4.2.9

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(6) {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + (2 x + 2) \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.6

Multipliez $2 x + 2$ par $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.7

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2$ .

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Étape 3.7.5.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.7.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.5.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (1)$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3.7.6

Pour écrire $\frac{2 (x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Étape 3.7.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(x^{2} + 1)}^{4}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.7.7.1

Multipliez $\frac{2 (x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3} (x^{2} + 1)}$

Étape 3.7.7.2

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{3}$ par $x^{2} + 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.7.2.1

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{3}$ par $x^{2} + 1$ .

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Étape 3.7.7.2.1.1

Élevez $x^{2} + 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Étape 3.7.7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3 + 1}}$

Étape 3.7.7.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{6 {(x + 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{2 (x + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 6 {(x + 1)}^{2} x + 2 (x + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.9.1

Factorisez $2 (x + 1)$ à partir de $- 6 {(x + 1)}^{2} x + 2 (x + 1) (x^{2} + 1)$ .

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Étape 3.7.9.1.1

Factorisez $2 (x + 1)$ à partir de $- 6 {(x + 1)}^{2} x$ .

$\frac{2 (x + 1) (- 3 (x + 1) x) + 2 (x + 1) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9.1.2

Factorisez $2 (x + 1)$ à partir de $2 (x + 1) (- 3 (x + 1) x) + 2 (x + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (x + 1) (- 3 (x + 1) x + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x + 1) ((- 3 x - 3 \cdot 1) x + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{2 (x + 1) ((- 3 x - 3) x + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x + 1) (- 3 x \cdot x - 3 x + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.7.9.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x + 1) (- 3 (x \cdot x) - 3 x + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x + 1) (- 3 x^{2} - 3 x + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.9.6

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 (x + 1) (- 2 x^{2} - 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x + 1) (- (2 x^{2}) - 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{2 (x + 1) (- (2 x^{2}) - (3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - (3 x)$ .

$\frac{2 (x + 1) (- (2 x^{2} + 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.13

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (x + 1) (- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.14

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} + 3 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (x + 1) (- (2 x^{2} + 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.15

Réécrivez $- (2 x^{2} + 3 x - 1)$ comme $- 1 (2 x^{2} + 3 x - 1)$ .

$\frac{2 (x + 1) (- 1 (2 x^{2} + 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (x + 1)) (2 x^{2} + 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.7.17

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 (x + 1)) (2 x^{2} + 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{2 (x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (x + 1) (2 x^{2} + 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$