Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{7}{x} - \frac{5}{x} + \frac{1}{x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{7}{x} - \frac{5}{x} + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{7}{x}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$7 x^{- 2} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$7 x^{- 2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$7 x^{- 2} - 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$7 x^{- 2} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$7 x^{- 2} + 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$7 x^{- 2} + 5 x^{- 2} - x^{- 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \frac{1}{x^{2}} + 5 x^{- 2} - x^{- 2}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \frac{1}{x^{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - x^{- 2}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 \frac{1}{x^{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.4

Associez des termes.

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Étape 5.4.1

Associez $7$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{7}{x^{2}} + 5 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.4.2

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{7}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 + 5}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.4.4

Additionnez $7$ et $5$ .

$\frac{12}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{12 - 1}{x^{2}}$

Étape 5.4.6

Soustrayez $1$ de $12$ .

$\frac{11}{x^{2}}$