Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(\ln (x))}^{\ln (x)}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 4.1.1

Réécrivez ${(\ln (x))}^{\ln (x)}$ comme $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})}]$

Étape 4.1.2

Développez $\ln ({(\ln (x))}^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln (x) \ln (\ln (x))$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x) \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (\ln (x))]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\ln (x) (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.5

Simplifiez les termes.

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Étape 4.5.1

Associez $\frac{1}{\ln (x)}$ et $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.5.2

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{\ln (x)}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (1 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.5.3

Multipliez $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ par $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.6

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 4.7

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \ln (\ln (x)) \frac{1}{x})$

Étape 4.8

Associez $\ln (\ln (x))$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} (\frac{1}{x} + \frac{\ln (\ln (x))}{x})$

Étape 4.9

Simplifiez

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Étape 4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Étape 4.9.2

Associez des termes.

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Étape 4.9.2.1

Associez $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \frac{\ln (\ln (x))}{x}$

Étape 4.9.2.2

Associez $e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}$ et $\frac{\ln (\ln (x))}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))}}{x} + \frac{e^{\ln (x) \ln (\ln (x))} \ln (\ln (x))}{x}$