Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{9 e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{9}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 2.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 2.1.3

Comme l’exposant $\frac{x}{5}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{x}{5}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 2.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Étape 2.3.7

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} 3 x^{2} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 2.5

Combinez les facteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Associez $3$ et $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{3 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} x^{2} \frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 2.5.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{15}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 15}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 3

Placez le terme $15$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 4.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 4.1.3

Comme l’exposant $\frac{x}{5}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{x}{5}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1}{9} \cdot 15 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Étape 4.3.7

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} 2 x \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 4.5

Combinez les facteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Associez $2$ et $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} x \frac{2 \cdot 5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} x \frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 4.5.3

Associez $x$ et $\frac{10}{e^{\frac{x}{5}}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 10}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 5

Placez le terme $10$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 6

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 6.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 6.1.3

Comme l’exposant $\frac{x}{5}$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{\frac{x}{5}}$ approche de $\infty$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{\frac{x}{5}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{5}}]}$

Étape 6.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 6.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 6.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{5}]}$

Étape 6.3.4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}} \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.5

Associez $\frac{1}{5}$ et $e^{\frac{x}{5}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 6.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5} \cdot 1}$

Étape 6.3.7

Multipliez $\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{e^{\frac{x}{5}}}{5}}$

Étape 6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} 1 \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 lim_{x \to \infty} \frac{5}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 7

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{\frac{x}{5}}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{9} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} \cdot 15 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9.1.2

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 5) \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot 5) \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $5$ .

$\frac{5}{3} \cdot 10 \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9.3

Multipliez $\frac{5}{3} \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.1

Associez $\frac{5}{3}$ et $10$ .

$\frac{5 \cdot 10}{3} \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9.3.2

Multipliez $5$ par $10$ .

$\frac{50}{3} \cdot 5 \cdot 0$

Étape 9.4

Multipliez $\frac{50}{3} \cdot 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.4.1

Associez $\frac{50}{3}$ et $5$ .

$\frac{50 \cdot 5}{3} \cdot 0$

Étape 9.4.2

Multipliez $50$ par $5$ .

$\frac{250}{3} \cdot 0$

Étape 9.5

Multipliez $\frac{250}{3}$ par $0$ .

$0$