Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{4}}$

Étape 1

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 2 x^{3}}}{x^{4}}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- 2 x^{3}}}{x^{4}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{- 2 x^{3}}$ et $g (x) = x^{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{3}}] - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x^{3}$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}])) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 2 (3 x^{2}))) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{4} (e^{- 2 x^{3}} (- 6 x^{2})) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 6

Multipliez $x^{4}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} x^{4} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2 + 4} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 6.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (e^{- 2 x^{3}} \cdot (- 6)) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 7

Déplacez $- 6$ à gauche de $e^{- 2 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 \cdot e^{- 2 x^{3}}) - e^{- 2 x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - e^{- 2 x^{3}} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8}}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{x^{8} \cdot 4}$

Étape 9.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{8}$ .

$- \frac{x^{6} (- 6 e^{- 2 x^{3}}) - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{4 \cdot x^{8}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}}{4 x^{8}}$

Étape 10.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 e^{- 2 x^{3}} x^{3}$ .

$- \frac{- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{8}}$

Étape 10.2

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ à partir de $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}} - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ à partir de $- 6 x^{6} e^{- 2 x^{3}}$ .

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) - 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}}{4 x^{8}}$

Étape 10.2.2

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ à partir de $- 4 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ .

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) + 2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 2)}{4 x^{8}}$

Étape 10.2.3

Factorisez $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}}$ à partir de $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3}) + 2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 2)$ .

$- \frac{2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{4 x^{8}}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)$ .

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{4 x^{8}}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{8}$ .

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 (2 x^{8})}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 (2 x^{8})}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{2 x^{8}}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{8}$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)$ .

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{2 x^{8}}$

Étape 10.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $2 x^{8}$ .

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{x^{3} (2 x^{5})}$

Étape 10.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{3} (e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2))}{x^{3} (2 x^{5})}$

Étape 10.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- 3 x^{3} - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 10.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3}) - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 10.6

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3}) - 1 (2))}{2 x^{5}}$

Étape 10.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{3}) - 1 (2)$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- (3 x^{3} + 2))}{2 x^{5}}$

Étape 10.8

Réécrivez $- (3 x^{3} + 2)$ comme $- 1 (3 x^{3} + 2)$ .

$- \frac{e^{- 2 x^{3}} (- 1 (3 x^{3} + 2))}{2 x^{5}}$

Étape 10.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$

Étape 10.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$

Étape 10.11

Multipliez $\frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$ par $1$ .

$\frac{e^{- 2 x^{3}} (3 x^{3} + 2)}{2 x^{5}}$