Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 1}^{1} \frac{x^{2} - x}{x} d x$

Étape 1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{x \cdot x - x}{x} d x$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{x \cdot x + x \cdot - 1}{x} d x$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{x (x - 1)}{x} d x$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int_{- 1}^{1} \frac{x (x - 1)}{x} d x$

Étape 1.2.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$\int_{- 1}^{1} x - 1 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + - x]_{- 1}^{1}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}$ et $- x]_{- 1}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Étape 5.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} - x$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1 - 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.9

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - - 1)$

Étape 5.2.2.10

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - - 1)$

Étape 5.2.2.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + 1)$

Étape 5.2.2.12

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 5.2.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} - \frac{1 + 2}{2}$

Étape 5.2.2.14

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 5.2.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 3}{2}$

Étape 5.2.2.16

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Étape 5.2.2.17

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 5.2.2.17.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2}$

Étape 5.2.2.17.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.17.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 5.2.2.17.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2.2.17.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{1}$

Étape 5.2.2.17.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 6