Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $- 1 \sin (x)$ comme $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Étape 2.3

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.4

Définissez $- \sin (x) + \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $- \sin (x) + \cos (x)$ égal à $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2.5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.4.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2.6

Séparez les fractions.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 2.4.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Étape 2.4.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Étape 2.4.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (x) = - 1$

Étape 2.4.2.11

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.11.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.11.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.11.2.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.11.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 2.4.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 2.4.2.13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.13.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.4.2.14

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 2.4.2.15

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 2.4.2.15.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.4.2.15.2

Associez les fractions.

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Étape 2.4.2.15.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.4.2.15.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 2.4.2.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.15.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 2.4.2.15.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.4.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.4.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.4.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.4.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.4.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.4.2.17

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.7

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$ et en résolvant.

$x = \frac{π}{4} + 6 π n, \frac{5 π}{4} + 6 π n, \frac{9 π}{4} + 6 π n, 10.21017612 + 6 π n, 13.35176877 + 6 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 3.2.2

Associez $e^{\frac{π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4.2.3

Associez $e^{\frac{5 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sur $x = \frac{9 π}{4}$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{9 π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{9 π}{4})$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = e^{\frac{9 π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2.3

Associez $e^{\frac{9 π}{4}}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sur $x = 10.21017612$ .

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $10.21017612$ dans l’expression.

$f (10.21017612) = e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Étape 6.2

La réponse finale est $e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$ .

$e^{10.21017612} \cos (10.21017612)$

Étape 7

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sur $x = 13.35176877$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $13.35176877$ dans l’expression.

$f (13.35176877) = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Étape 7.2

La réponse finale est $e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Étape 8

Les droites tangentes horizontales sur la fonction $f (x) = e^{x} \cos (x)$ sont $y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = \frac{e^{\frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}, y = e^{10.21017612} \cos (10.21017612), y = e^{13.35176877} \cos (13.35176877)$

Étape 9