Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{1} (x + 1) \sqrt{x + 3} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x + 1$ et $d v = \sqrt{x + 3}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}})]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(x + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \int_{- 2}^{1} \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Étape 3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{- 2}^{1} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Étape 4

Laissez $u = x + 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = x + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 4.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x + 3$ .

$u_{lower} = - 2 + 3$

Étape 4.3

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 4.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x + 3$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $3$ .

$u_{upper} = 4$

Étape 4.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Étape 4.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{- 2}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $(x + 1) \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $1$ et sur $- 2$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ sur $4$ et sur $1$ .

$((1 + 1) \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{2 {(1 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \frac{2 \cdot 8}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.7

Multipliez $2$ par $8$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.8

Associez $2$ et $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.9

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32}{3} - (- 2 + 1) \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.10

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{32}{3} - - 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.11

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.12

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{32}{3} + 1 \frac{2 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.14

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{32}{3} + 1 (\frac{2}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.15

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{32}{3} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 + 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.17

Additionnez $32$ et $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.18

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.19

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.20

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.20.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.20.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.21

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.22

Associez $\frac{2}{5}$ et $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.23

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

Étape 6.3.24

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

Étape 6.3.25

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

Étape 6.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

Étape 6.3.27

Soustrayez $2$ de $64$ .

$\frac{34}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

Étape 6.3.28

Multipliez $\frac{62}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{34}{3} - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.29

Multipliez $62$ par $2$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{5 \cdot 3}$

Étape 6.3.30

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{34}{3} - \frac{124}{15}$

Étape 6.3.31

Pour écrire $\frac{34}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{124}{15}$

Étape 6.3.32

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.32.1

Multipliez $\frac{34}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{34 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{124}{15}$

Étape 6.3.32.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{34 \cdot 5}{15} - \frac{124}{15}$

Étape 6.3.33

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{34 \cdot 5 - 124}{15}$

Étape 6.3.34

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.34.1

Multipliez $34$ par $5$ .

$\frac{170 - 124}{15}$

Étape 6.3.34.2

Soustrayez $124$ de $170$ .

$\frac{46}{15}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{46}{15}$

Forme décimale :

$3.0\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$3 \frac{1}{15}$

Étape 8