Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} x^{2} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$0^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (\frac{1}{x^{2}})$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{1}{x^{2}}) \\ - 0.1 & - 0.50636564 \\ - 0.01 & - 0.38780942 \\ - 0.001 & - 0.38780942 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 0.388$ . Ainsi, la limite de $\sin (\frac{1}{x^{2}})$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $- 0.388$ .

$- 0.388$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{1}{x^{2}})$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (\frac{1}{x^{2}})$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{1}{x^{2}}) \\ 0.1 & - 0.50636564 \\ 0.01 & - 0.38780942 \\ 0.001 & - 0.38780942 \end{array}$

Étape 8

$0^{2} \cdot - 0.388$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \cdot - 0.388$

Étape 9.2

Multipliez $0$ par $- 0.388$ .

$0$