Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{(\sin^{2} (x))}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{{\sin (x)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{3} (x)$ .

$\frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $- 1 \sin^{3} (x)$ comme $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.7.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

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Étape 3.7.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin^{3} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) - 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.7.2.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- 2 \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.7.2.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (- \sin^{2} (x)) + \sin (x) (- 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin^{4} (x)}$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{4} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) (- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\sin (x) \sin^{3} (x)}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.9

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.11

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.14

Simplifiez

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Étape 3.14.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.14.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.14.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (2 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.14.4

Réécrivez $- (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ comme $- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x))}{\sin^{3} (x)}$

Étape 3.14.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\sin^{3} (x)}$