Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5^{x}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\ln (5)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5^{x} \ln (5)$ par rapport à $x$ est $\ln (5) \frac{d}{d x} [5^{x}]$ .

$f'' (x) = \ln (5) \frac{d}{d x} (5^{x})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$f'' (x) = \ln (5) (5^{x} \ln (5))$

Étape 2.3

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 5^{x} ((\ln (5)) \ln (5))$

Étape 2.4

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 5^{x} ((\ln (5)) (\ln (5)))$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 5^{x} {(\ln (5))}^{1 + 1}$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 5^{x} \ln^{2} (5)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$5^{x} \ln (5) = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6