Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{5} {(x y^{2} + 4 y)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez ${(x y^{2} + 4 y)}^{2}$ comme $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} ((x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y))]$

Étape 2

Développez $(x y^{2} + 4 y) (x y^{2} + 4 y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2} + 4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2} + 4 y))]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x y^{2} (x y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x \cdot x y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2} y^{2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} (y^{2} y^{2}) + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{2 + 2} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + x y^{2} (4 y) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{2} y + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y \cdot y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 3.1.4.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x (y^{1} y^{2}) + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{1 + 2} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y (x y^{2}) + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.5

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y) x + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 3.1.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 (y^{2} y^{1}) x + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{2 + 1} x + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 y (4 y))]$

Étape 3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y \cdot y)]$

Étape 3.1.7

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.7.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 (y \cdot y))]$

Étape 3.1.7.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 4 \cdot 4 y^{2})]$

Étape 3.1.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 y^{3} x + 16 y^{2})]$

Étape 3.2

Additionnez $4 x y^{3}$ et $4 y^{3} x$ .

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Étape 3.2.1

Déplacez $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 4 x y^{3} + 4 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Étape 3.2.2

Additionnez $4 x y^{3}$ et $4 x y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})]$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5} (x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}]$

Étape 5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{4} + 8 x y^{3} + 16 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Étape 6

Comme $y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{4}$ par rapport à $x$ est $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{5} (y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Étape 8

Déplacez $2$ à gauche de $y^{4}$ .

$\frac{1}{5} (2 \cdot y^{4} x + \frac{d}{d x} [8 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Étape 9

Comme $8 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x y^{3}$ par rapport à $x$ est $8 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Étape 11

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + \frac{d}{d x} [16 y^{2}])$

Étape 12

Comme $16 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3} + 0)$

Étape 13

Additionnez $2 y^{4} x + 8 y^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x + 8 y^{3})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{5} (2 y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Étape 14.2

Associez des termes.

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Étape 14.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (y^{4} x) + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Étape 14.2.2

Associez $y^{4}$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2}{5} x + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Étape 14.2.3

Associez $\frac{y^{4} \cdot 2}{5}$ et $x$ .

$\frac{y^{4} \cdot 2 x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Étape 14.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $y^{4}$ .

$\frac{2 \cdot y^{4} x}{5} + \frac{1}{5} (8 y^{3})$

Étape 14.2.5

Associez $8$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8}{5} y^{3}$

Étape 14.2.6

Associez $\frac{8}{5}$ et $y^{3}$ .

$\frac{2 y^{4} x}{5} + \frac{8 y^{3}}{5}$