Calcul infinitésimal Exemples

$2 x + 3 e^{2 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 + 3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + 3 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 + 3 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 3 (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 + 3 (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$2 + 6 e^{2 x}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 6 e^{2 x} + 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 e^{2 x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 e^{2 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$6 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$6 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$6 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$6 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$12 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 e^{2 x} + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $12 e^{2 x}$ et $0$ .

$f'' (x) = 12 e^{2 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$12 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$12 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3.2

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 3.3.4

Multipliez $24$ par $1$ .

$f''' (x) = 24 e^{2 x}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$24 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$24 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$24 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $24$ .

$48 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$48 e^{2 x} \cdot 1$

Étape 4.3.4

Multipliez $48$ par $1$ .

$f^{4} (x) = 48 e^{2 x}$