Calcul infinitésimal Exemples

$\int x {(x + 4)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x + 4$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x + 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (u - 4) u^{2} d u$

Étape 2

Développez $(u - 4) u^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int u \cdot u^{2} - 4 u^{2} d u$

Étape 2.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int u^{1} u^{2} - 4 u^{2} d u$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{1 + 2} - 4 u^{2} d u$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int u^{3} - 4 u^{2} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{3} d u + \int - 4 u^{2} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 4 u^{2} d u$

Étape 5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 \int u^{2} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C - 4 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Simplifiez

$\frac{1}{4} u^{4} - 4 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{- 4}{3} u^{3} + C$

Étape 7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{4} u^{4} - \frac{4}{3} u^{3} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{4} - \frac{4}{3} {(x + 4)}^{3} + C$