Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{4 + 6 h}{\sqrt{h}}) d h$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{4 + 6 h}{\sqrt{h}} d h$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{h}$ comme $h^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 6 h}{h^{\frac{1}{2}}} d h$

Étape 3

Retirez $h^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (4 + 6 h) {(h^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d h$

Étape 4

Multipliez les exposants dans ${(h^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 6 h) h^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d h$

Étape 4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int (4 + 6 h) h^{\frac{- 1}{2}} d h$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int (4 + 6 h) h^{- \frac{1}{2}} d h$

Étape 5

Développez $(4 + 6 h) h^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h \cdot h^{- \frac{1}{2}} d h$

Étape 5.2

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 (h^{1} h^{- \frac{1}{2}}) d h$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{1 - \frac{1}{2}} d h$

Étape 5.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d h$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{\frac{2 - 1}{2}} d h$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int 4 h^{- \frac{1}{2}} + 6 h^{\frac{1}{2}} d h$

Étape 5.7

Remettez dans l’ordre $4 h^{- \frac{1}{2}}$ et $6 h^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 6 h^{\frac{1}{2}} + 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 6 h^{\frac{1}{2}} d h + \int 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Étape 7

Comme $6$ est constant par rapport à $h$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int h^{\frac{1}{2}} d h + \int 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $h^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $h$ est $\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}} + C) + \int 4 h^{- \frac{1}{2}} d h$

Étape 9

Comme $4$ est constant par rapport à $h$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$6 (\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}} + C) + 4 \int h^{- \frac{1}{2}} d h$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $h^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $h$ est $2 h^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} h^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (2 h^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Simplifiez

$6 (\frac{2}{3}) h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Associez $6$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12}{3} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{1} h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$4 h^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 h^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 11.2.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$4 h^{\frac{3}{2}} + 8 h^{\frac{1}{2}} + C$