Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{3 x^{2} + x}}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} + x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x}}{x^{2} - 1}$

Étape 1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x^{1}}}{x^{2} - 1}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x \cdot 1}}{x^{2} - 1}$

Étape 1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x + 1)}}{x^{2} - 1}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 5.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 5.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{3}$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 10

Évaluez la limite.

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 10.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - 0}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Divisez $3 \cdot 0 + 0$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 \cdot 0 + 0}}{1 - 0}$

Étape 12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 0}}{1 - 0}$

Étape 12.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{0}}{1 - 0}$

Étape 12.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{0^{2}}}{1 - 0}$

Étape 12.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 0}{1 - 0}$

Étape 12.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 0}{1 + 0}$

Étape 12.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 0}{1}$

Étape 12.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 12.5

Divisez $0$ par $1$ .

$0$