Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{3} + 5 x}{4 x - 6}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

Étape 6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

Étape 7

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1^{3}}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{\frac{1}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\frac{1}{8} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.4

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.5

Pour écrire $\frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1.6.1

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 + 5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.8.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{\frac{1 + 20}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.1.8.2

Additionnez $1$ et $20$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{2 (2) \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{21}{8}}{2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 9.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 1 \cdot 6}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 6}$

Étape 9.2.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{- 4}$

Étape 9.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{21}{8} \cdot \frac{1}{- 4}$

Étape 9.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$

Étape 9.5

Multipliez $\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$ .

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Étape 9.5.1

Multipliez $\frac{21}{8}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{21}{8 \cdot 4}$

Étape 9.5.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$- \frac{21}{32}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{21}{32}$

Forme décimale :

$- 0.65625$